підрахуй.pro

Калькулятор НСД і НСК онлайн: найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

НСД(12; 18; 30) = 6, а НСК = 180: шість ділить усі три числа без остачі, а 180 — найменше число, що ділиться на кожне. Введіть від двох до десяти натуральних чисел через кому — калькулятор покаже НСД, НСК, розклад кожного числа на прості множники й кроки алгоритму Евкліда.

Чинна редакція від · Джерела звірено

Від двох до десяти натуральних чисел (цілих, більших за нуль) до 1 000 000 000. Розділяйте комою, пробілом або крапкою з комою.

НСД — найбільший спільний дільник 6
НСК — найменше спільне кратне 180
Чи взаємно прості
Ні: усі числа діляться на 6
  • Алгоритм Евкліда, НСД(12; 18): 18 = 1 · 12 + 6; 12 = 2 · 6 + 0 → 6.
  • Алгоритм Евкліда, НСД(6; 30): 30 = 5 · 6 + 0 → 6.
  • Через розклад: НСД — спільні прості множники в найменших степенях: 2 · 3 = 6.
  • НСК — усі прості множники в найбільших степенях: 2² · 3² · 5 = 180.

Розклад на прості множники

ЧислоРозклад
1212 = 2² · 3
1818 = 2 · 3²
3030 = 2 · 3 · 5

Звідки цифри

Чого калькулятор не враховує. Натуральні числа до 1 000 000 000, від двох до десяти чисел. НСК рахується точно навіть тоді, коли в ньому десятки цифр. Не рахує НСД многочленів, дробів і від’ємних чисел: для від’ємних НСД беруть за модулем — введіть число без мінуса. Нуль не приймає.

Технологія й перевірка

Як користуватись калькулятором

Введіть у поле натуральні числа — цілі й більші за нуль — через кому, пробіл чи крапку з комою: «12, 18, 30». Можна від двох до десяти чисел, кожне до мільярда. Калькулятор одразу покаже найбільший спільний дільник (НСД), найменше спільне кратне (НСК), чи взаємно прості ці числа, і таблицю з розкладом кожного числа на прості множники. Під результатом — розв’язок по кроках: алгоритм Евкліда по черзі (для перших двох чисел, потім для їхнього НСД і наступного числа) і той самий НСД та НСК, знайдені через розклад. Так легко звірити відповідь у зошиті будь-яким із двох шкільних способів.

Що таке НСД і НСК

Найбільший спільний дільник — найбільше число, на яке діляться без остачі всі задані числа. Для 12 і 18 спільні дільники — 1, 2, 3 і 6, найбільший із них 6. Найменше спільне кратне — найменше натуральне число, яке ділиться на кожне із заданих. Кратні 12: 12, 24, 36, 48…; кратні 18: 18, 36, 54…; перше спільне — 36. Перебір годиться лише для маленьких чисел, тому в школі вчать два швидші способи.

Алгоритм Евкліда

Більше число ділять на менше з остачею, потім дільник — на остачу, і так доти, доки не вийде нуль. Остання ненульова остача — НСД; якщо вже перше ділення без остачі, НСД — менше число. Для 1 071 і 462: 1 071 = 2 · 462 + 147, далі 462 = 3 · 147 + 21, далі 147 = 7 · 21 + 0. Отже, НСД дорівнює 21. Навіть для чисел близько мільярда кроків буде кілька десятків, тому калькулятор рахує саме так. НСК двох чисел знаходять через НСД: добуток чисел ділять на їхній НСД.

Через розклад на прості множники

Кожне число розкладають на прості множники. НСД — добуток множників, спільних для всіх чисел, кожен у найменшому степені. НСК — добуток усіх множників, що трапилися хоч у одному числі, кожен у найбільшому степені. Для 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² і 30 = 2 · 3 · 5 спільні множники — 2 і 3, тож НСД = 6, а НСК = 2² · 3² · 5 = 180.

Приклади з числами

Плитка без різання. Стіна 360 на 480 сантиметрів, треба найбільші квадратні плитки, щоб уздовж кожної сторони вклалося ціле число плиток. НСД(360; 480) = 120: квадрати по 120 сантиметрів, три ряди по чотири (шви між плитками тут не враховано).

Два автобуси. Один ходить кожні 12 хвилин, другий — кожні 18, обидва щойно разом рушили від зупинки. Наступного разу вони зустрінуться через НСК(12; 18) = 36 хвилин.

Однакові подарунки. Є 24 цукерки й 36 мандаринів, хочемо скласти якнайбільше однакових наборів без залишку. НСД(24; 36) = 12 наборів, у кожному дві цукерки й три мандарини.

Типові помилки

  1. Плутають НСД і НСК. НСД не більший за найменше з чисел, НСК не менший за найбільше. Якщо вийшло навпаки — переплутали.
  2. Беруть множник не в тому степені. Для НСД — найменший степінь, для НСК — найбільший.
  3. Множать числа замість НСК. Добуток 12 · 18 = 216 — спільне кратне, але не найменше.
  4. Правило «НСД · НСК = добуток» для трьох чисел. Завжди воно діє лише для двох; для трьох і більше — тільки тоді, коли кожні два числа взаємно прості.

Де межа

Калькулятор працює з натуральними числами. Дроби додавайте в калькуляторі дробів — він сам знайде спільний знаменник, а ділення з остачею по кроках покаже калькулятор у стовпчик. НСД від’ємних чисел беруть за модулем, НСД многочленів — окрема тема алгебри.

Часті питання

Калькулятор НСД онлайн: як знайти найбільший спільний дільник?
Алгоритмом Евкліда: більше число ділять на менше з остачею, потім менше — на остачу, і так доти, доки остача не стане нулем. Остання ненульова остача — це НСД. Для 48 і 36: 48 = 1 · 36 + 12, 36 = 3 · 12 + 0, отже НСД(48; 36) = 12. Калькулятор показує ці кроки під результатом.
Калькулятор НСД і НСК 3 чисел: як порахувати для трьох чисел?
По черзі: спершу для двох, потім результат із третім. НСД(12; 18; 30) = НСД(НСД(12; 18); 30) = НСД(6; 30) = 6. НСК(12; 18) = 36, а НСК(36; 30) = 180. Те саме через розклад: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5; спільні множники в найменших степенях — 2 · 3 = 6, усі в найбільших — 2² · 3² · 5 = 180.
Калькулятор НСК: як знайти найменше спільне кратне?
Для двох чисел — поділити їхній добуток на НСД: НСК(12; 18) = 12 · 18 / 6 = 36. Або розкласти на прості множники й узяти кожен у найбільшому степені: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², тож НСК = 2² · 3² = 36. Перевірка: 36 ділиться і на 12, і на 18, а менше спільне кратне знайти не вийде.
Калькулятор НСК і НСД: як вони пов’язані між собою?
Для двох чисел добуток НСД і НСК дорівнює добутку самих чисел: 6 · 36 = 216 = 12 · 18. Для трьох і більше чисел так виходить, лише коли кожні два з них взаємно прості: для 12, 18 і 30 НСД · НСК = 6 · 180 = 1 080, а добуток чисел — 6 480.
Що означає, що числа взаємно прості?
Їхній НСД дорівнює 1: крім одиниці, спільних дільників немає. Наприклад, 8 і 15 взаємно прості, хоча жодне з них не є простим числом. Для двох взаємно простих чисел НСК дорівнює їхньому добутку: НСК(8; 15) = 120. Для трьох і більше чисел НСД = 1 ще не означає, що взаємно прості кожні два: у 6, 10 і 15 спільного для всіх дільника немає, але НСД(6; 10) = 2. Калькулятор показує, яка пара не взаємно проста.
Навіщо НСК, коли додаєш дроби?
НСК знаменників — це найменший спільний знаменник. Для 1/12 + 1/18 знаменник 36: 1/12 = 3/36, 1/18 = 2/36, сума — 5/36. Із більшим спільним знаменником (наприклад, 216 = 12 · 18) відповідь та сама, але дріб доведеться ще скорочувати.

Пов’язані калькулятори

Калькулятор дробів Додавання, віднімання, множення, ділення, скорочення звичайних і мішаних дробів та переведення в десятковий дріб — із рішенням по кроках. Калькулятор кола й круга Площа й довжина кола за радіусом, діаметром чи довжиною кола, а ще довжина дуги й площа сектора за кутом — із розв’язком по кроках. Калькулятор трикутника Прямокутний, рівнобедрений чи будь-який трикутник: сторони, кути, площа, периметр і висота за катетами, трьома сторонами або кутом — з кроками. Калькулятор відсотків Відсоток від числа й суми, частка у відсотках, плюс чи мінус відсотки, зміна у відсотках і складні відсотки з капіталізацією. Калькулятор ймовірності Ймовірність події m/n, формула Бернуллі й «хоча б один раз», сполучення, розміщення й перестановки — з розв’язком по кроках.